Le mathématicien Hugo Duminil-Copin, lauréat de la prestigieuse médaille Fields en 2022, et Emmanuel Sander, professeur en sciences de l’éducation à l’Université de Genève, viennent de publier un ouvrage intitulé De l'autre côté du tableau noir (Seuil). Ce livre explore les liens entre les mathématiques et la psychologie cognitive, en montrant comment la pensée mathématique est une activité profondément humaine, fondée sur l’intuition, les analogies et l’essai-erreur. Les auteurs défendent cette approche alors que l’intelligence artificielle devient capable de résoudre des problèmes mathématiques complexes. Sander compare le rôle de l’IA en mathématiques à celui des robots qui gravissent des sommets autrefois inaccessibles : impressionnant, mais sans enrichir vraiment l’expertise des alpinistes humains. Les auteurs insistent sur la nécessité de réhabiliter la dimension humaine des sciences mathématiques, en mettant l’accent sur l’analyse des concepts abstraits, leur compréhension et leur transmission. Ils mettent en garde contre l’idée d’une « toute logique », qui réduirait les mathématiques à de simples démonstrations théoriques. Si l’IA peut transformer les pratiques mathématiques et remplacer l’humain dans certaines tâches, ils rappellent que résoudre des problèmes ne se limite pas à démontrer des théorèmes. Il s’agit avant tout de saisir une compréhension plus large des notions en jeu. L’ouvrage est né de discussions indépendantes entre les deux auteurs. Sander a reconnu, dans le travail de Duminil-Copin en tant que mathématicien, les mêmes mécanismes psychologiques qu’il étudie chez les enfants. Ils ont exploré l’universalité des compétences d’apprentissage en appliquant des outils de psychologie cognitive à l’expérience mathématique de Duminil-Copin. L’un des aspects de ce parallèle concerne le rôle des analogies, comme l’utilisation du connu pour donner du sens à l’inconnu. Par exemple, le signe « = » peut d’abord représenter un résultat pour les enfants, ce qui rend difficile la compréhension des équations où l’égalité est une équivalence plutôt qu’un résultat. Le livre souligne également le rôle de l’intuition en mathématiques, étroitement liée au sentiment de compréhension. Cependant, lorsque les situations mathématiques défient l’intuition, cela crée une dissonance cognitive qui stimule le développement. Par exemple, la division défie l’intuition lorsque le résultat est plus grand que le nombre initial, comme dans le cas de 2 divisé par 0,25, qui donne 8. Duminil-Copin rejette le mythe du « don pour les maths », reconnaissant que certains peuvent être plus à l’aise avec cette discipline, mais soulignant que les mathématiques sont multidimensionnelles et que les grands mathématiciens excellent pour des raisons variées. Selon eux, l’idée qu’un seul trait rendrait quelqu’un bon en mathématiques relève de l’illusion. Sur le plan de l’enseignement des mathématiques, les auteurs estiment que les élèves doivent être formés à remettre en question leurs intuitions. Savoir calculer ne suffit pas sans comprendre quand appliquer ces calculs. Les manuels scolaires renforcent souvent les intuitions initiales, alors qu’ils devraient aussi présenter des situations qui les bousculent, permettant aux élèves d’apprendre à raisonner différemment. L’un des moments forts du livre est le récit de la découverte qui a valu à Duminil-Copin la médaille Fields. Après des années de travail sur les « chemins auto-évitants », il s’est tourné vers le problème de la percolation, qui étudie comment l’eau traverse le café. Lors d’une baignade à Fréjus, la solution lui est apparue comme une révélation, lui montrant que l’outil développé pour la percolation pouvait résoudre le problème des chemins auto-évitants. Duminil-Copin confirme que ce moment était bien réel, insistant sur l’importance de la préparation et d’une période de détachement par rapport au problème pour que la solution émerge. Les auteurs accordent peu de place à la formalisation des démonstrations, notant que si la rédaction d’une preuve peut réserver des surprises, celles-ci restent mineures comparées à la compréhension même du problème. Dans le cas de la conjecture de Nienhuis, la formalisation a pris environ une heure, malgré des années de recherche.